3. Bạn đang xem: Bài tập phương trình tuyến tính cấp 1
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(1)Ta giải bằng cách thức biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử trường đoản cú giải cùng so sánh công dụng nhé)
Bước 1: Giải phương trình vi phân con đường tính thuần nhất link với (1). Ta có:
Hay:
Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) gồm dạng:
Ta có:
. Gắng vào phương trình (1) ta có:.
(Rõ ràng ta triệt tiêu được phần đông gì liên quan đến v(x)).
Từ đó:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(2)Trước tiên, ta đưa về dạng
rồi thừa nhận diện dạng phương trình. Ta có: (*)Rõ ràng, đây chưa phải là phương trình tách bóc biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế đề xuất là phân số mà lại tử số chỉ có một số hạng.
Xem thêm: Chuyển Ngày Dương Lịch Sang Âm Lich, Đổi Ngày Dương Sang Âm
Do đó, ta coi x là hàm theo trở nên số y, lúc ấy nghịch đảo phương trình (*) ta đang có: Hay: (2′)Đây chính là phương trình tuyến tính cung cấp 1 cùng với x là hàm theo vươn lên là y:
Vậy: giải phương trình đường tính thuần nhất links với (2′):
Vậy nghiệm tổng thể của phương trình (2′) bao gồm dạng:
Ta có:
thay vào pt (2′) ta có:
Vậy nghiệm tổng thể của phương trình (2′) là:
4. Phương trình Bernoulli:
Phương trình Bernoulli là phương trình bao gồm dạng:
(4)
Cách giải:
Nhân 2 vế của pt (4) cho
. Ta có:(4′)
Khi đó, ta đặt:
. Ta có:Thế vào phương trình (4′) ta có:
Phương trình này đó là phương trình tuyến đường tính cùng với z là hàm theo biến x. Vấn đề được giải quyết!
Ví dụ: Giải phương trình:
(1)Ta viết lại phương trình:
Đây là phương trình Bernoulli cùng với
Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với
ta có: (*)Ta để
. Cố vào (*) ta có: (**) (phương trình con đường tính cùng với z là hàm theo vươn lên là x).– Giải pt thuần nhất liên kết với (**) ta được:
– Nghiệm tổng thể của pt(**) có dạng:
.Thế vào (**) ta tra cứu được:
Vậy nghiệm tổng quát của pt (**) là:
Từ đó, nghiệm tổng quát của (1) là:
5. Phương trình Ricatti:
Là phương trình vi phân tất cả dạng:
Nhìn chung, nghiệm của phương trình không màn trình diễn được ngơi nghỉ dạng hàm sơ cấp. Mặc dù nhiên, ví như ta biết được 1 nghiệm riêng biệt nào kia của phương trình, trả sử
thì bằng cách biến đổi: ta sẽ chuyển được pt về phương trình Bernoulli.